[운동역학]투사체 경로에 영향을 미치는 3가지 요인
1. 투사 각도 (θ theta)
개념
물체가 투사되는 순간의 각도
투사 각도가 변화하면 수직 성분과 수평 성분의 크기가 달라집니다.
물체를 던질 때 형성되는 출발각
쉽게 말해, 공을 던질 때 땅과 이루는 각도
특징
투사각이 커질수록
수직 성분의 크기가 커지고 수평 성분의 크기는 작아짐.
위로 던지는 힘(수직 성분)이 커지며 공이 더 높이 올라감
그러나 공이 전진하는 힘(수평 성분)은 약해져 멀리 나가는 거리는 줄어
투사각이 작아질수록
수평 성분의 크기가 커지고 수직 성분의 크기는 작아짐.
공이 **멀리 나가는 힘(수평 성분)**이 커짐
하지만 공이 높이 올라가는 힘(수직 성분)이 약해져 공이 높게 올라가지 못함
수평 도달거리
공기저항을 무시하고, 투사 높이와 착지 높이가 동일할 때, 수평 도달거리는 투사각 45도일 때 최대가 됩니다.
공기 저항이 없고, 공이 던져진 높이와 착지하는 높이가 같을 때 성립합니다.
45도 각도로 던지면, 수직 성분과 수평 성분이 가장 균형 있게 분배되기 때문에 공이 가장 멀리 나갑니다.
2. 투사체 운동의 주요 거리
1) 수직 도달거리
조건:
- 수직 성분의 속도가 최고점에서 0이 됩니다.
- 가속도 (중력 방향)
특징
2) 수평 도달거리
투사체가 착지할 때까지 이동한 수평 거리
조건:
- 공이 최고점에서 속도가 0이 된 후 다시 낙하합니다.
- 공기 저항이 없다고 가정합니다.
수평 도달거리 공식
투사 각도와 수평 도달거리 변화 예시
투사 각도가 45도보다 크면 공이 높이 날아오르지만, 너무 높아서 멀리 가지 못합니다.
투사 각도가 45도보다 작으면 공이 멀리 나가려는 힘이 커지지만, 높이가 낮아져 빠르게 떨어집니다.
3. 투사 속도 (Vi)
개념
물체가 투사되는 순간의 속도
- 투사 속도는 공이 던지는 순간의 속도입니다.
- 공을 얼마나 빠르게 던지느냐에 따라 이동하는 거리가 달라집니다.
경기력에 가장 큰 영향을 미치는 요소입니다.
투사 속도의 중요성:
투사각이 동일할 때, 수직 도달거리와 수평 도달거리는 투사 속도의 제곱에 비례합니다.
예: 투사 속도를 두 배로 하면 공이 도달하는 최대 높이와 수평 도달거리가 4배 커집니다.
특징
투사 각도가 동일할 때, 수직 도달거리와 수평 도달거리는 모두 투사 속도의 제곱에 비례합니다.
4. 투사 높이
개념
투사체가 투사되는 높이와 착지하는 높이의 차이를 상대 투사 높이라고 합니다.
투사 높이와 착지 높이의 차이를 상대 투사 높이라고 합니다.
투사 높이가 클수록 공이 멀리 도달할 가능성이 커집니다.
특징
투사 높이 > 착지 높이일 경우:\
45도보다 낮은 각도로 던져야 수평 도달거리가 최대가 됩니다.
예) 스키점프(투사 각도 약 -2도)
공이 위쪽에서 아래쪽으로 던져질 때는 45도보다 낮은 각도로 던져야 최대 수평 도달거리를 확보할 수 있습니다.
예: 스키점프 선수는 약 -2도의 각도로 점프합니다.
투사 높이 < 착지 높이일 경우:
45도보다 높은 각도로 던져야 수평 도달거리가 최대가 됩니다.
공이 아래쪽에서 위쪽으로 던져질 때는 45도보다 높은 각도로 던져야 최대 수평 도달거리를 확보할 수 있습니다.
5. 스포츠 현장에서의 투사체 운동 예시
1) 높이뛰기
목적
최대 수직 도달거리를 확보하기 위해 도움닫기와 몸의 자세를 조절함.
최대 수직 도달거리를 확보하여 바를 넘는 것이 목표
기술 요소
도움닫기
마지막 3~5 스텝을 곡선으로 달려 수평 속도를 수직 속도로 전환.
남자의 경우 최대 10m/s의 수평 속도를 약 7m/s로 조절하여 이상적인 수직 도약을 만듦.
마지막 스텝 (플랜트)
마지막 스텝에서 무릎을 약간 굽혀 다리에 가해지는 충격을 흡수함.
체중 중심을 조절하여 수직 도약을 쉽게 할 수 있도록 함.
무게중심 이동
이륙 직전, 반대쪽 무릎과 두 팔을 강하게 들어 올려 신체의 무게 중심을 더 높임.
딕 포스베리 자세
몸을 활처럼 굽혀 무게 중심을 바 아래로 두면서 더 높은 도약을 만듦.
딕 포스베리 기술을 사용하면 몸의 무게 중심이 바 아래에 있으면서도 바를 넘을 수 있음
2) 투포환
목적
최대 수평 도달거리를 확보하기 위해 투사 각도와 투사 속도를 조절함.
특징
이론적 최적 투사각도: 42도
실제 선수들의 투사각도: 30~40도
투사각이 높아질수록 더 큰 수직 힘이 필요하기 때문에 투사 속도가 손실될 수 있음.
선수들은 투사 속도 손실을 최소화하기 위해 30~40도의 투사각을 유지함.
정리
투사 각도: 수평 도달거리와 수직 도달거리에 큰 영향을 줌.
투사각 45도일 때 수평 도달거리가 최대 (동일한 높이 기준)
투사 속도: 경기력에 가장 중요한 요소로, 투사각이 같을 때 수직, 수평 도달거리는 모두 속도의 제곱에 비례.
투사 높이: 투사 높이와 착지 높이의 차이에 따라 이상적인 투사 각도가 달라짐.
투사체 운동 예제 문제 및 해설
정답:
공은 약 40.8m를 이동
해설:
- 투사각이 45∘일 때 수평 도달거리는 최대가 됩니다.
- 이 문제에서는 초기 투사 속도가 20m/s였으므로 약 40.8m를 이동합니다.
- 공기 저항이 없다는 가정이기 때문에 실제 거리보다 더 멀리 계산된 값입니다.
예제 2: 수직 도달거리 계산
정답:
공의 최고 높이는 약 8.61m
해설:
- 공을 높이 던질 때는 투사각이 커질수록 높이 올라갑니다.
- 이 문제에서는 초기 투사 속도의 수직 성분이 약 13m/s로 계산되었기 때문에 공은 8.61m 높이까지 도달합니다.
- 초기 속도가 크고 투사각이 높을수록 더 높은 높이에 도달할 수 있어요
예제 3: 투사 속도에 따른 수평 도달거리 비교
문제:
두 선수가 공을 45도 각도로 던졌습니다.
- A 선수: 투사 속도 20m/s
- B 선수: 투사 속도 25m/s
두 선수의 공은 각각 얼마나 멀리 날아갔을까요?
풀이
정답:
A 선수: 약 40.8m
B 선수: 약 63.8m
해설:
같은 각도로 던졌지만, B 선수는 더 빠른 속도로 공을 던졌기 때문에 더 멀리 나감
투사 속도가 높아질수록 수평 도달거리도 속도의 제곱에 비례해서 늘어남